概率第4讲：随机变量 | Random Variables

1. 基本概念

1.1 定义

随机变量(Random Variable)是定义在样本空间上的实值函数，记作$X: \Omega \to \mathbb{R}$

关键特性：

• 离散型随机变量(Discrete Random Variable)：取值集合可数

• 连续型随机变量(Continuous Random Variable)：取值不可数

1.2 概率质量函数 (Probability Mass Function, PMF)

对离散型随机变量$X$，定义：

满足：

示例：

2. 常见离散分布

2.1 伯努利分布 (Bernoulli Distribution)

定义：

性质：

• 期望：$E(X) = p$

• 方差：$\text{Var}(X) = p(1-p)$

金融应用：单次投资决策的成功/失败建模

2.2 二项分布 (Binomial Distribution)

定义：

推导：
当
$X_1,...,X_n$为独立同分布的伯努利变量时：

性质：

• 期望：$E(X) = np$

• 方差：$\text{Var}(X) = np(1-p)$

示例：

假设某基金每日盈利概率为0.6，计算10天中恰好7天盈利的概率：

$$P(X=7) = \binom{10}{7} 0.6^7 \times 0.4^3 \approx 0.215$$

2.3 几何分布 (Geometric Distribution)

定义：

性质：

• 期望：$E(X) = \frac{1}{p}$

• 方差：$\text{Var}(X) = \frac{1-p}{p^2}$

金融应用：首次投资成功所需时间建模

3. 泊松过程 (Poisson Process)

3.1 泊松分布 (Poisson Distribution)

定义：

近似条件：
当
$n \geq 20$且$p \leq 0.05$时：

性质：

• 期望：$E(X) = \lambda$

• 方差：$\text{Var}(X) = \lambda$

金融应用：罕见事件建模（如黑天鹅事件）

3.2 到达时间分布

定理：在速率为$\lambda$的泊松过程中，首次到达时间$T$服从指数分布：

示例：

假设某交易系统故障率为3次/年，求至少半年无故障的概率：

$$P(T > 0.5) = e^{-3 \times 0.5} = e^{-1.5} \approx 0.223$$

4. 期望与方差

4.1 期望值 (Expected Value)

定义：

线性性质：

4.2 方差 (Variance)

定义：

性质：

5. 经典问题解析

5.1 优惠券收集问题 (Coupon Collector Problem)

问题：收集$N$种优惠券，求收集完整套所需次数的分布

解法：
使用容斥原理：

金融类比：投资组合多样化所需最低样本量

5.2 生日问题 (Birthday Problem)

近似解：
当有
$n$人时，至少两人生日相同的概率：

学习建议：尝试计算当$n=23$时的精确概率（答案约0.507）

学习路线建议：

1. 从伯努利试验开始理解二元结果

2. 通过二项分布掌握独立试验的叠加

3. 理解泊松分布与二项分布的关系

4. 用实际金融案例验证理论公式

5. 通过编程实现分布模拟（推荐Python的scipy.stats模块）

进阶思考：如何将泊松过程应用于高频交易中的订单流建模？

附：练习合集