练习

练习题

1. 期望计算（离散型）

设随机变量 $X$ 表示抛掷两枚均匀骰子的点数之和，求：

1. $E(X)$

2. $\text{var}(X)$

2. 协方差计算

已知两个随机变量的联合分布如下：

$\begin{array}{c|cc} & Y=0 & Y=1 \\ \hline X=0 & 0.2 & 0.3 \\ X=1 & 0.1 & 0.4 \\ \end{array}$

求
$\text{cov}(X,Y)$

3. 投资组合风险

假设资产A和B的收益率分别为 $R_A$ 和 $R_B$，且满足：

求投资组合 $Z = 0.5R_A + 0.5R_B$ 的标准差。

4. 大数定律验证

设计一个蒙特卡洛实验，估算 $\int_0^1 x^2 dx$。要求：

1. 写出具体步骤

2. 解释为何该方法有效

5. 独立性判断

设 $X$ 和 $Y$ 的联合密度函数为：

$f(x,y) = \begin{cases} 2x & \text{若 } 0 \leq y \leq x \leq 1 \\ 0 & \text{其他} \end{cases}$

判断
$X$ 和 $Y$ 是否独立，并计算 $\text{cov}(X,Y)$。

参考答案

1. 期望与方差

解答：

1. 所有可能的和及其概率：
   • 和为2: 概率 $1/36$, 和为3: $2/36$, ..., 和为12: $1/36$
   • $E(X) = \sum_{k=2}^{12} k \cdot P(X=k) = 7$

2. 计算 $E(X^2)$:

   $E(X^2) = \sum_{k=2}^{12} k^2 \cdot P(X=k) \approx 54.83$

   $\text{var}(X) = 54.83 - 7^2 = 5.83$

2. 协方差计算

解答：

1. 边际分布：

   $E(X) = 0 \cdot 0.5 + 1 \cdot 0.5 = 0.5$

   $E(Y) = 0 \cdot 0.3 + 1 \cdot 0.7 = 0.7$

2. 计算 $E(XY)$:

   $E(XY) = (0\cdot0)\cdot0.2 + (0\cdot1)\cdot0.3 + (1\cdot0)\cdot0.1 + (1\cdot1)\cdot0.4 = 0.4$

3. $\text{cov}(X,Y) = 0.4 - 0.5 \cdot 0.7 = 0.05$

3. 投资组合标准差

解答：

组合方差：

标准差：$\sqrt{0.04} = 0.2$

4. 蒙特卡洛积分

解答：

1. 步骤：
   • 生成 $N$ 个均匀随机数 $x_i \sim U(0,1)$
   • 计算平均值 $\frac{1}{N} \sum_{i=1}^N x_i^2$

2. 有效性：由LLN，当 $N \to \infty$ 时，平均值收敛于 $E(X^2) = \int_0^1 x^2 dx = 1/3$

5. 独立性与协方差

解答：

1. 计算边际密度：

   $f_X(x) = \int_0^x 2x dy = 2x^2$

   $f_Y(y) = \int_y^1 2x dx = 1 - y^2$

   由于 $f(x,y) \neq f_X(x)f_Y(y)$，变量不独立

2. 计算协方差：

   $E(X) = \int_0^1 x \cdot 2x^2 dx = 0.5$

   $E(Y) = \int_0^1 y(1 - y^2) dy = 0.375$

   $E(XY) = \int_0^1 \int_0^x xy \cdot 2x dy dx = \frac{2}{5}$

   $\text{cov}(X,Y) = \frac{2}{5} - 0.5 \cdot 0.375 = 0.0625$