练习

练习题

1. MSE最小化

设随机变量 $( Y \sim N(2, 4) )$。

(1) 若用常数 $( c )$ 预测 $( Y )$，求使MSE最小的 $( c )$ 值。

(2) 计算此时的$( \min MSE )$。

2. 条件期望计算

设 ( X ) 为骰子点数（均匀分布），( Y ) 定义为：

• 若 ( X ) 为偶数，则 $( Y = X + 1 )$

• 若 ( X ) 为奇数，则 $( Y = X - 1 )$
  求
  $( E[E(Y|X)] )$。

3. 正态分布概率

已知$( X \sim N(50, 25) )$，计算$( P(48 \leq X \leq 55) )$。

4. 独立正态变量的线性组合

设 $( X \sim N(3, 4) )$，$( Y \sim N(1, 9) )$，且$( X \perp Y )$。

求随机变量 $( Z = 2X - Y + 5 )$ 的均值和方差。

5. 中心极限定理应用

一枚公平硬币抛掷400次，用正态近似计算正面出现次数在180到220之间的概率。

答案

1. MSE最小化

解

(1) 最优预测值为$( c = E(Y) = 2 )$

(2)$( \min MSE = \text{var}(Y) = 4 )$

2. 条件期望计算

解

计算条件期望：

• 当 ( X=1,3,5 )（奇数），$( E(Y|X) = X - 1 )$

• 当 ( X=2,4,6 )（偶数），$( E(Y|X) = X + 1 )$
  由双重期望公式：
  
  
  $E[E(Y|X)] = \frac{1}{6} \sum_{x=1}^6 E(Y|X=x) = \frac{1}{6}[(0+2)+(1+3)+(2+4)+(5+3)+(6+4)+(7+5)] = 3$

3. 正态分布概率

解

标准化：

$P(48 \leq X \leq 55) = \Phi\left(\frac{55-50}{5}\right) - \Phi\left(\frac{48-50}{5}\right) = \Phi(1) - \Phi(-0.4) \approx 0.8413 - 0.3446 = 0.4967$

4. 独立正态变量的线性组合

解

均值：

$E(Z) = 2E(X) - E(Y) + 5 = 2 \times 3 - 1 + 5 = 10$

方差：

$\text{var}(Z) = 2^2 \times \text{var}(X) + (-1)^2 \times \text{var}(Y) = 4 \times 4 + 1 \times 9 = 25$

5. 中心极限定理应用

解

设 $( S_{400} )$ 为正面次数，近似 $( S_{400} \sim N(200, 100) )$

标准化：

$P(180 \leq S \leq 220) \approx \Phi\left(\frac{220.5-200}{10}\right) - \Phi\left(\frac{179.5-200}{10}\right) = \Phi(2.05) - \Phi(-2.05) \approx 0.9798 - 0.0202 = 0.9596$

（注：使用了连续性修正）