m种结果，实验2有n种结果，则两实验共有m×n种结果。r个实验的总结果数为 n₁×n₂×…×nᵣ。n!种排列方式。n!/(n₁!n₂!…nᵣ!)（若含r类重复元素）。C(n,r) = n!/(r!(n−r)!)，满足递推公式 C(n,r)=C(n−1,r−1)+C(n−1,r)。(x+y)^n = Σ C(n,k)x^k y^{n−k}。C(n;n₁,n₂,…,nᵣ) = n!/(n₁!n₂!…nᵣ!)，用于展开 (x₁+x₂+…+xᵣ)^n。x₁+x₂+…+xᵣ = n 的正整数解数：C(n−1,r−1)。C(n+r−1,r−1)（通过变量替换y_i = x_i +1）。∪）、交集（∩）、补集（Eᶜ），德摩根定律：(∪Eᵢ)ᶜ = ∩Eᵢᶜ，(∩Eᵢ)ᶜ = ∪Eᵢᶜ。0 ≤ P(E) ≤1，P(S)=1，互斥事件可加性。P(∪Eᵢ) = ΣP(Eᵢ) − ΣP(EᵢEⱼ) + ΣP(EᵢEⱼEₖ) − … + (−1)^{n+1}P(E₁E₂…Eₙ)
P(E) = |E| / |S|。P(E|F) = P(EF)/P(F)（要求 P(F)>0）。P(E₁E₂…Eₙ) = P(E₁)P(E₂|E₁)P(E₃|E₁E₂)…。P(E) = Σ P(Fᵢ)P(E|Fᵢ)（{Fᵢ}为分割）。P(Fⱼ|E) = [P(Fⱼ)P(E|Fⱼ)] / Σ P(Fᵢ)P(E|Fᵢ)。P(EF) = P(E)P(F)，或等价地 P(E|F) = P(E)。P(EFG)=P(E)P(F)P(G) 且两两独立。P(X=1)=p, P(X=0)=1−p。P(X=k)=C(n,k)p^k(1−p)^{n−k}，期望 np，方差 np(1−p)。P(X=k)=e^{-λ}λ^k/k!，近似二项式（n大，p小），期望与方差均为 λ。P(X=k)=(1−p)^{k−1}p，无记忆性，期望 1/p。nr/N。f(x)=1/(β−α)（α<x<β），期望 (α+β)/2，方差 (β−α)²/12。f(x)=1/(σ√{2π}) e^{−0.5((x−μ)/σ)^2}，线性变换保持正态性。f(x)=λe^{-λx}（x≥0），无记忆性，期望 1/λ，方差 1/λ²。f(x)=λ^α x^{α−1} e^{-λx}/Γ(α)，Γ(n)=(n−1)!，期望 α/λ，方差 α/λ²。f(x)=dF(x)/dx。X=F^{-1}(U)，则 U∼Uniform(0,1) 生成任意分布。p(x,y)=P(X=x,Y=y)，边缘PMF为行或列求和。f(x,y)，边缘PDF通过对另一变量积分。f(x,y)=f_X(x)f_Y(y)。Cov(X,Y)=E[XY]−E[X]E[Y]，独立时协方差为0。ρ=Cov(X,Y)/(σ_X σ_Y) ∈ [−1,1]。Y₁=g₁(X₁,X₂)，Y₂=g₂(X₁,X₂)，则联合PDF为原PDF乘以雅可比行列式的倒数。E[aX+b]=aE[X]+b，Var(aX+b)=a² Var(X)。Var(X)=E[Var(X|Y)] + Var[E(X|Y)]。E[X|Y=y] = Σx P(X=x|Y=y)（离散）或积分形式（连续）。E[X] = E[E[X|Y]]。M(t)=E[e^{tX}]，性质：M^{(n)}(0)=E[Xⁿ]，独立变量和的MGF为乘积。P(X≥a) ≤ E[X]/a（X≥0）。P(|X−μ|≥kσ) ≤ 1/k²。复习提示：