第9讲 正交和线性变换（Orthogonality and Linear Transformations）

一、过渡矩阵（Transition Matrix）

1.1 基本定义

设 $S = \{ \mathbf{u}_1,...,\mathbf{u}_n \}$ 和 $T = \{ \mathbf{v}_1,...,\mathbf{v}_n \}$ 是 n 维向量空间 V 的两个基，则从 S 到 T 的过渡矩阵 P 由下式唯一确定：

其中 P 的列向量为 $[\mathbf{u}_1]_T,...,[\mathbf{u}_n]_T$。

坐标转换公式：对任意向量 $\mathbf{w}$，有

1.2 旋转坐标系示例

考虑 xy 坐标系绕原点逆时针旋转 θ 角得到 x'y' 坐标系的情况：

例：θ = 60° 时：


$P = \begin{pmatrix} 1/2 & -\sqrt{3}/2 \\ \sqrt{3}/2 & 1/2 \end{pmatrix}$

点 P 在 xy 系的坐标 (2,1) 转换为 x'y' 系坐标为：


$P^{-1}\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1+\sqrt{3}/2 \\ 1/2-\sqrt{3} \end{pmatrix}$

二、线性变换基础

2.1 定义与标准矩阵

线性变换 $T: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$ 的标准矩阵 A 满足：

构造方法：计算标准基向量的像

2.2 重要性质

1. 线性性：$T(a\mathbf{u}+b\mathbf{v}) = aT(\mathbf{u}) + bT(\mathbf{v})$

2. 复合变换：$(T \circ S)(\mathbf{u}) = T(S(\mathbf{u}))$ 对应矩阵 BA

3. 零向量保持：$T(\mathbf{0}) = \mathbf{0}$

三、秩与核（Rank and Kernel）

3.1 基本概念

设线性变换 $T: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$ 的标准矩阵为 A

• 像空间（Range）：$R(T) = \{ T(\mathbf{u}) | \mathbf{u} \in \mathbb{R}^n \}$ ➔ A 的列空间

• 核空间（Kernel）：$\text{Ker}(T) = \{ \mathbf{u} | T(\mathbf{u}) = \mathbf{0} \}$ ➔ A 的零空间

3.2 秩-零化度定理

几何解释：

• $\text{rank}(T)$：输出空间的维度

• $\text{nullity}(T)$：被压缩到零向量的输入空间维度

四、典型例题解析

4.1 投影变换

定义投影变换 $P(\mathbf{x}) = \mathbf{x} - (\mathbf{n}\cdot\mathbf{x})\mathbf{n}$，其中 $\|\mathbf{n}\|=1$

标准矩阵：

性质验证：

4.2 反射变换

定义反射变换 $F(\mathbf{x}) = \mathbf{x} - 2(\mathbf{n}\cdot\mathbf{x})\mathbf{n}$

正交性验证：

五、学习建议

1. 几何直观：将线性变换理解为空间的旋转/投影/缩放操作

2. 矩阵联系：熟练掌握标准矩阵的构造方法

3. 特殊变换：重点理解正交矩阵、投影/反射矩阵的特性

4. 维度分析：用秩-零化度定理验证计算结果

关键术语表：

• 基 Basis

• 过渡矩阵 Transition matrix

• 标准矩阵 Standard matrix

• 正交矩阵 Orthogonal matrix

• 秩 Rank

• 核 Kernel

附：练习合集