练习

基础题

1. 求特征值与特征向量

   计算矩阵 $A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$的特征值及对应的特征向量。

2. 判断对角化可能性

   矩阵 $B = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}$ 是否可对角化？说明理由。

应用题

1. 代数与几何重数

   矩阵 $C = \begin{pmatrix} 4 & 1 & -1 \\ 0 & 4 & 2 \\ 0 & 0 & 4 \end{pmatrix}$ 的特征值 λ = 4 的代数重数和几何重数分别是多少？

2. Cayley-Hamilton 定理应用

   若矩阵 D 的特征多项式为 $\phi_D(\lambda) = \lambda^3 - 2\lambda^2 + 5\lambda - 3$，求 D³ 的表达式。

综合题

1. 对角化与相似性
   设矩阵
   $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -2 & 3 \end{pmatrix}$，证明存在可逆矩阵 P 使得 P⁻¹AP 为对角矩阵，并给出 P 的具体形式。

参考答案

基础题答案

1. 特征值与特征向量
   • 特征方程：
     
     $\det(\lambda I - A) = \det\begin{pmatrix} \lambda-3 & -1 \\ -1 & \lambda-3 \end{pmatrix} = (\lambda-3)^2 - 1 = 0$
     解得
     λ₁ = 4, λ₂ = 2。
   • 特征向量：
     • 对 λ₁ = 4，解方程 $(4I - A)x = 0$，得特征向量 $x₁ = (1, 1)^T$。
     • 对 λ₂ = 2，解方程 $(2I - A)x = 0$，得特征向量 $x₂ = (1, -1)^T$。

2. 对角化可能性
   • 矩阵 B 的特征值为 λ₁ = 2（代数重数 2）和 λ₂ = 3。
   • 对 λ₁ = 2，解方程$(2I - B)x = 0$，特征空间维数为 1（几何重数 < 代数重数）。
   • 结论：B 不可对角化。

应用题答案

1. 代数与几何重数
   • 代数重数：特征值 λ = 4 是三重根，代数重数为 3。
   • 几何重数：解方程 $(4I - C)x = 0$，系数矩阵秩为 2，特征空间维数 = 3 - 2 = 1。
   • 结论：代数重数 3 ≠ 几何重数 1。

2. Cayley-Hamilton 定理应用
   • 由定理得 $D³ - 2D² + 5D - 3I = 0$，即 $D³ = 2D² - 5D + 3I$。

综合题答案

1. 对角化证明
   • 特征方程：
     
     $\det(\lambda I - A) = \lambda^2 - 3\lambda + 2 = 0 \implies \lambda_1 = 1, \lambda_2 = 2$
   • 特征向量：
     • 对 λ₁ = 1，特征向量 $x₁ = (1, 1)^T$。
     • 对 λ₂ = 2，特征向量 $x₂ = (1, 2)^T$。
   • 矩阵 P：
     
     $P = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \implies P^{-1}AP = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$