练习

基础题

1. 判断以下集合是否为$\mathbb{R}^3$的子空间：
   (a)
   $V_1 = \{ (x,y,z) \ | \ x + 2y = 3z \}$

   (b) $V_2 = \{ (a,b,c) \ | \ a \geq 0 \}$

   (c) $V_3 = \{ (s,t,u) \ | \ s^2 + t^2 = u \}$

2. 将三维空间中过点$(1,0,-1)$和$(3,2,1)$的直线表示为：
   (a) 隐式形式（联立两个平面方程）
   

   (b) 参数化形式

进阶题

1. 设矩阵$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}$，求：
   (a) 列空间
   $\text{Col}(A)$的显式表示

   (b) 证明$\text{Col}(A)$是$\mathbb{R}^3$的真子空间

2. 对向量集$S = \{ (1,2,3), (0,1,-1) \}$，证明：
   
   $\text{span}(S) = \{ (x,y,z) \ | \ 5x - y - z = 0 \}$

参考答案

基础题答案

1. (a) 是子空间（齐次方程解集）

   (b) 不是子空间（取$\mathbf{v}=(1,0,0)\in V_2$，$-\mathbf{v}=(-1,0,0)\notin V_2$）

   (c) 不是子空间（取$\mathbf{u}=(1,0,1),\mathbf{v}=(0,1,1)\in V_3$，$\mathbf{u}+\mathbf{v}=(1,1,2)\notin V_3$）

2. (a) 隐式形式：
   
   $\begin{cases} x - y = 1 \\ y - z = 1 \end{cases}$
   
   (b) 参数化形式：
   
   $(1 + 2t,\ 0 + 2t,\ -1 + 2t),\ t \in \mathbb{R}$

进阶题答案

1. (a) 列空间为：
   
   $\text{Col}(A) = \left\{ s\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix} + t\begin{pmatrix}2\\1\\3\end{pmatrix} \ \bigg| \ s,t\in\mathbb{R} \right\}$
   
   (b) 因所有列向量满足$5x - y - z = 0$，故$\text{Col}(A) \subsetneq \mathbb{R}^3$

2. 证明步骤：
   • 验证$S$中向量满足方程$5x - y - z = 0$
   • 对任意$(x,y,z) \in \text{span}(S)$，存在$a,b\in\mathbb{R}$使得：
     
     $\begin{cases} x = a \\ y = 2a + b \\ z = 3a - b \end{cases}$
   • 代入验证$5x - y - z = 5a - (2a+b) - (3a-b) = 0$
   • 反向包含关系通过解方程组验证