练习

基础计算题

1. 计算行列式

   计算以下矩阵的行列式：

   
   
   $A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}$

2. 拉普拉斯展开

   使用拉普拉斯展开计算：

   
   
   $B = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 4 & 5 \\ 1 & 0 & 6 \end{pmatrix}$

性质验证题

1. 行列式的交替性

   设矩阵 $C = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$，交换其两行得到 $C'$，验证$\det(C') = -\det(C)$。

2. 可逆性判断

   判断矩阵 $D = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 4 \\ 5 & 6 & 0 \end{pmatrix}$ 是否可逆，若可逆，求其逆矩阵。

应用题

1. 克拉默法则
   用克拉默法则解方程组：
   
   
   $\begin{cases} 2x + y = 7 \\ 3x - 2y = 4 \end{cases}$
   
   

证明题

1. 行列式乘法定理
   设
   $A$ 和 $B$ 为同阶可逆矩阵，证明 $\det(AB) = \det(A)\det(B)$。

基础计算题答案

1. 解：

   
   
   $\det(A) = 3 \cdot 4 - 1 \cdot 2 = 12 - 2 = 10$
   
   

2. 解：

   沿第二列展开（含零元素简化计算）：

   
   
   $\det(B) = 2 \cdot (-1)^{1+2} \det\begin{pmatrix} 0 & 5 \\ 1 & 6 \end{pmatrix} + 4 \cdot (-1)^{2+2} \det\begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 1 & 6 \end{pmatrix} + 0 \cdot (\cdots)$

   计算得：

   
   
   $\det(B) = -2(0 \cdot 6 - 5 \cdot 1) + 4(1 \cdot 6 - 3 \cdot 1) = -2(-5) + 4(3) = 10 + 12 = 22$

性质验证题答案

1. 解：

   
   
   $\det(C) = 2 \cdot 4 - 1 \cdot 3 = 5, \quad \det(C') = \det\begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} = 3 \cdot 1 - 4 \cdot 2 = -5 = -\det(C)$

2. 解：

   计算 $\det(D) = 1(1 \cdot 0 - 4 \cdot 6) - 2(0 \cdot 0 - 4 \cdot 5) + 3(0 \cdot 6 - 1 \cdot 5) = -24 + 40 - 15 = 1 \neq 0$，故可逆。

   逆矩阵为（计算过程略）：

   
   
   $D^{-1} = \begin{pmatrix} -24 & 18 & 5 \\ 20 & -15 & -4 \\ -5 & 4 & 1 \end{pmatrix}$

应用题答案

1. 解：
   系数矩阵
   $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & -2 \end{pmatrix}$，$\det(A) = 2(-2) - 1 \cdot 3 = -7$。
   
   
   $x = \frac{\det\begin{pmatrix} 7 & 1 \\ 4 & -2 \end{pmatrix}}{\det(A)} = \frac{-18}{-7} = \frac{18}{7}, \quad y = \frac{\det\begin{pmatrix} 2 & 7 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}}{\det(A)} = \frac{-13}{-7} = \frac{13}{7}$
   
   

证明题答案

1. 证明：
   由行列式乘法定理（见性质 2.2(b)），若
   $A$ 和 $B$ 可逆，则：
   
   
   $\det(AB) = \det(A)\det(B)$

2. 详细证明需利用莱布尼茨公式或公理化定义（如交替性、线性性等）。