练习

练习题

1. 计算定积分：
   
   $\int_{0}^{2} (3x^2 + 2x - 1) dx$

2. 使用分部积分法计算：
   
   $\int x \cos x \, dx$

3. 使用换元法计算：
   
   $\int 2x \sqrt{x^2 + 4} \, dx$

4. 计算广义积分：
   
   $\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^3} dx$

5. 计算瑕积分：
   
   $\int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{x}} dx$

6. 计算积分：
   
   $\int e^{2x} dx$

答案

第一题

$\begin{aligned} \int_{0}^{2} (3x^2 + 2x - 1) dx &= \left[ x^3 + x^2 - x \right]_0^2 \\ &= (8 + 4 - 2) - (0) = 10 \end{aligned}$

第二题

设 $u = x$，$dv = \cos x dx$，则 $du = dx$，$v = \sin x$：

$\begin{aligned} \int x \cos x dx &= x \sin x - \int \sin x dx \\ &= x \sin x + \cos x + C \end{aligned}$

第三题

令 $u = x^2 + 4$，则 $du = 2x dx$：

$\begin{aligned} \int 2x \sqrt{x^2 + 4} dx &= \int \sqrt{u} \, du \\ &= \frac{2}{3} u^{3/2} + C \\ &= \frac{2}{3} (x^2 + 4)^{3/2} + C \end{aligned}$

第四题

$\begin{aligned} \int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^3} dx &= \lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} x^{-3} dx \ &= \lim_{t \to \infty} \left[ -\frac{1}{2x^2} \right]^{t}_{1} \ &= \lim_{t \to \infty} \left( -\frac{1}{2t^2} + \frac{1}{2} \right) = \frac{1}{2} \end{aligned}$

解释：

1. 无穷积分的处理：当积分上限为无穷大时，我们引入一个有限值$t$代替无穷大，然后计算$t$趋向于无穷大时的极限

2. 第一步是将$\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^3} dx$转换为$\lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} x^{-3} dx$

3. 第二步是计算$\int x^{-3} dx$的不定积分，即$\int x^{-3} dx = -\frac{1}{2}x^{-2} + C$（通过求导可验证）

4. 第三步是代入积分上下限，得到$[-\frac{1}{2x^2}]_{1}^{t} = -\frac{1}{2t^2} - (-\frac{1}{2})= -\frac{1}{2t^2} + \frac{1}{2}$

5. 最后，当$t$趋向无穷大时，$\frac{1}{t^2}$趋向于0，所以极限值为$\frac{1}{2}$

这种方法是处理无穷积分的标准做法，即将无穷区间转化为有限区间的极限

第五题

$\begin{aligned} \int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{x}} dx &= \lim_{t \to 0^+} \int_{t}^{1} x^{-1/2} dx \\ &= \lim_{t \to 0^+} \left[ 2\sqrt{x} \right]_t^1 \\ &= \lim_{t \to 0^+} (2 - 2\sqrt{t}) = 2 \end{aligned}$

解释：

1. 这是一个存在瑕点的反常积分，因为在$x=0$处函数$\frac{1}{\sqrt{x}}$发生了奇点（变为无穷大）

2. 处理方法是引入一个趋近于0的正数$t$（用$t \to 0^+$表示$t$从正值趋近于0），将积分区间变为$[t,1]$

3. 计算步骤：
   • 首先将积分转化为$\lim_{t \to 0^+} \int_{t}^{1} x^{-1/2} dx$
   • 求不定积分：$\int x^{-1/2} dx = \int \frac{1}{\sqrt{x}} dx = 2\sqrt{x} + C$
   • 代入积分上下限：$[2\sqrt{x}]_{t}^{1} = 2\sqrt{1} - 2\sqrt{t} = 2 - 2\sqrt{t}$
   • 计算极限：当$t \to 0^+$时，$\sqrt{t} \to 0$，因此$\lim_{t \to 0^+}(2 - 2\sqrt{t}) = 2$

这种方法是处理积分下限为奇点的反常积分的标准方法。由于结果是有限值2，所以我们说这个反常积分是收敛的

第六题

$\int e^{2x} dx = \frac{1}{2} e^{2x} + C$