练习

练习题

1. 集合运算：设$A = \{2,4,6,8\}$，$B = \{x \in \mathbb{N} \ | \ x < 7\}$，求：
   • $A \cup B$
   • $A \cap B$
   • $B \setminus A$

2. 区间转换：将集合$\{x \in \mathbb{R} \ | \ -3 < x \leq 5\}$用区间符号表示

3. 函数定义判断：判断下列关系是否构成函数：
   • $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$，$f(x) = \pm\sqrt{x^2+1}$
   • $g: \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$，$g(n) = 2n-1$

4. 定义域确定：求函数$h(x) = \sqrt{4-x} + \frac{1}{x^2-1}$的自然定义域

5. 函数运算：设$f(x) = \sqrt{x+2}$，$g(x) = \frac{1}{x}$，求：
   • $(f+g)(x)$及其定义域
   • $(fg)(x)$及其定义域

6. 函数类型判断：分类下列函数：
   • $f(x) = \frac{x^3-2x}{x^2+1}$
   • $g(x) = \sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt[3]{x}}$
   • $h(x) = |x| + \cos x$

7. 单调性分析：证明$f(x) = x^3 + 2x$在$\mathbb{R}$上严格递增

8. 奇偶性判断：
   • 验证$f(x) = x^4 - 3x^2$是偶函数
   • 证明$g(x) = \sin x + x^3$是奇函数

9. 函数分解：将$f(x) = 2x^3 - 4x$分解为奇函数与偶函数之和

10. 幂函数分析：当$n$为何值时$f(x) = x^n$满足：
    • 在$[0,+\infty)$上严格递增
    • 图像关于原点对称

答案

1. 解：
   • $B = \{1,2,3,4,5,6\}$
   • $A \cup B = \{1,2,3,4,5,6,8\}$
   • $A \cap B = \{2,4,6\}$
   • $B \setminus A = \{1,3,5\}$

2. 解：$(-3, 5]$

3. 解：
   • 不是函数（单输入对应多输出）
   • 是函数（每个整数对应唯一整数）

4. 解：
   • $4-x \geq 0 \Rightarrow x \leq 4$
   • $x^2-1 \neq 0 \Rightarrow x \neq \pm1$
   • 定义域：$(-\infty, -1) \cup (-1,1) \cup (1,4]$

5. 解：
   • $(f+g)(x) = \sqrt{x+2} + \frac{1}{x}$

   定义域：$x \neq 0$且$x \geq -2$ → $[-2,0) \cup (0,+\infty)$

   • $(fg)(x) = \frac{\sqrt{x+2}}{x}$
     定义域：
     $x \neq 0$且$x \geq -2$ → $[-2,0) \cup (0,+\infty)$

6. 解：
   • 有理函数（多项式之比）
   • 代数函数（含根式）
   • 非代数函数（含三角函数）

7. 证明：
   
   $f'(x) = 3x^2 + 2 > 0 \quad \forall x \in \mathbb{R} \\ \Rightarrow f(x) \text{在}\mathbb{R}\text{上严格递增}$

8. 解：
   • $f(-x) = (-x)^4 -3(-x)^2 = x^4 -3x^2 = f(x)$
   • $g(-x) = \sin(-x) + (-x)^3 = -\sin x -x^3 = -g(x)$

9. 解：
   
   $\text{奇部} = 2x^3 \quad \text{偶部} = -4x \\ \Rightarrow f(x) = \underbrace{2x^3}{\text{奇函数}} + \underbrace{(-4x)}{\text{奇函数}} \quad \text{（注：原题需修正，实际结果应为纯奇函数）}$

10. 解：
    • $n > 0$（如$n=3$时严格递增）
    • $n$为奇数（如$n=5$时图像关于原点对称）

学习建议

1. 用不同颜色标记集合运算的Venn图区域

2. 制作函数性质判断流程图（先检查定义域对称性再验证等式）

3. 练习用导数法证明函数单调性

4. 绘制不同指数幂函数的图像对比观察