练习

练习题

1. 用导数定义求$f(x)=3x^2-2x$在$x=2$处的导数

2. 求函数$y = \frac{1}{\sqrt{x}}$的一阶导数

3. 计算$y = \cos(3x^2)$的导数

4. 求曲线$y=\sqrt{3x+1}$在$x=1$处的切线方程

5. 隐函数求导：已知$x^3 + y^3 = 6xy$，求$\frac{dy}{dx}$

6. 求$f(x) = \ln(2x^3+1)$的导数

7. 某资产价格变化满足$P(t)=100e^{0.05t}$，求t=5时的瞬时变化率

8. 求函数$f(x) = x^4$的四阶导数

9. 证明：若$y = e^{2x}$，则$y'' - 4y = 0$

10. 求椭圆$\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1$在点(2, $\frac{4\sqrt{2}}{3}$)处的切线斜率

答案

1. 解：
   
   
   $f'(2) = \lim_{h \to 0} \frac{3(2+h)^2 -2(2+h) - (3×4 -4)}{h} = 10$

2. 解：
   
   
   $y = x^{-1/2} \Rightarrow \frac{dy}{dx} = -\frac{1}{2}x^{-3/2} = -\frac{1}{2x^{3/2}}$

3. 解（链式法则）：
   
   
   $\frac{dy}{dx} = -\sin(3x^2) × 6x = -6x\sin(3x^2)$

4. 解：
   
   
   $y' = \frac{3}{2\sqrt{3x+1}} \Rightarrow y'(1) = \frac{3}{4} \\$切线方程：$y = \frac{3}{4}(x-1) + 2 = \frac{3}{4}x + \frac{5}{4}$
   
   

5. 解：
   
   
   $3x^2 + 3y^2 y' = 6y + 6x y' \\ 整理得 y' = \frac{2y - x^2}{y^2 - 2x}$
   
   

6. 解：
   
   
   $f'(x) = \frac{6x^2}{2x^3+1}$

7. 解：
   
   
   $P'(t) = 100×0.05e^{0.05t} \\ P'(5) = 5e^{0.25} \approx 6.41 \text{（单位/时间）}$
   
   

8. 解：
   
   
   $f^{(4)}(x) = \frac{d^4}{dx^4}x^4 = 4! = 24$

9. 证明：
   
   
   $y' = 2e^{2x},\ y'' = 4e^{2x} \\ y'' -4y = 4e^{2x} -4e^{2x} = 0$
   
   

10. 解：
    
    
    $\frac{2x}{9} + \frac{2y y'}{4} = 0 \Rightarrow y' = -\frac{4x}{9y} \\ 代入点坐标：y' = -\frac{4×2}{9×(4\sqrt{2}/3)} = -\frac{\sqrt{2}}{3}$

学习建议

1. 每天练习5-10道不同题型的导数计算

2. 对错误题目建立错题本，分析错误类型

3. 尝试用不同方法验证答案（如图形验证、数值估算等）