练习

基础练习

1. 判断连续性

判断下列函数在指定点的连续性：

$f(x) = \begin{cases} x^2 + 1 & x \leq 1 \\ 2x & x > 1 \end{cases} \quad 在x=1处$

2. 识别间断点

找出下列函数的间断点并分类：

$f(x) = \frac{\tan x}{x}$

3. 介值定理应用

证明方程$x^5 - 3x = 1$ 在区间 (1,2) 内至少有一个实根

进阶练习

4. 复合函数连续性

分析函数 $f(x) = \ln\left(\frac{x+2}{x-3}\right)$ 的连续区间

5. ε-δ 证明

用ε-δ定义证明 $f(x) = 2x + 3$ 在x=4处连续

应用题

6. 实际场景分析

某金融产品的价值函数为：

$V(t) = \begin{cases} 100e^{0.05t} & t \geq 0 \\ 100(1 + 0.05t) & t < 0 \end{cases}$
分析该函数在t=0处的连续性（时间单位：年）

参考答案

基础练习答案

1.

解答步骤：

1. 计算左极限：$\lim_{x \to 1^-} (x^2+1) = 2$

2. 计算右极限：$\lim_{x \to 1^+} 2x = 2$

3. 函数值：$f(1) = 1^2 + 1 = 2$

4. 结论：连续

答案：在x=1处连续

2.

分析过程：

1. 潜在间断点：$x=0，x=π/2 + kπ（k∈Z）$

2. 分类：
   • x=0：$\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = 1$ ⇒ 可去间断点
   • x=π/2 + kπ：$\tan x$无定义 ⇒ 无穷间断点

答案：

• 可去间断点：x=0

• 无穷间断点：x=π/2 + kπ（k∈Z）

3.

证明过程：

1. 定义函数：$f(x) = x^5 - 3x - 1$

2. 计算端点值：
   • $f(1) = 1 - 3 - 1 = -3$
   • $f(2) = 32 - 6 - 1 = 25$

3. 应用IVT：因f(x)连续且-3 < 0 < 25

4. 结论：存在c∈(1,2)使f(c)=0

答案：证明成立

进阶练习答案

4.

分析步骤：

1. 内层函数：$\frac{x+2}{x-3}$定义域：x ≠ 3

2. 外层ln函数要求：$\frac{x+2}{x-3} > 0$

3. 解不等式：x < -2 或 x > 3

4. 最终连续区间：(-∞, -2) ∪ (3, +∞)

答案：连续区间为 (-∞, -2) ∪ (3, +∞)

5.

证明过程：
给定ε > 0，取δ = ε/2：
当 |x-4| < δ 时，

$|f(x)-f(4)| = |2x+3 - 11| = 2|x-4| < 2δ = ε$

答案：证明完成

应用题答案

6.

分析过程：

1. 左极限：$\lim_{t \to 0^-} 100(1+0.05t) = 100$

2. 右极限：$\lim_{t \to 0^+} 100e^{0} = 100$

3. 函数值：$V(0) = 100$

4. 结论：连续

金融意义：产品价值在t=0时实现平滑衔接，没有突变

学习建议：

1. 完成练习后对照答案检查关键步骤

2. 特别注意分段函数的连接点分析

3. 画图辅助理解介值定理的应用

4. 记录典型错误类型（如忽略定义域限制）