练习

旋转体与曲面专题练习

体积计算

1. Disk Method

   计算$y = \sqrt{x}$ 在区间 $[0,4]$ 绕x轴旋转的体积

2. Shell Method

   求 $y = x^3$ 在 $[0,2]$ 绕y轴旋转的体积

3. Washer Method

   求由 $y = x$ 和 $y = x^2$ 围成的区域绕x轴旋转的体积

弧长计算

4. 直角坐标系弧长

   计算 $y = \frac{2}{3}x^{3/2}$ 在 $[0,3]$ 的弧长

5. 参数方程弧长

   给定参数方程：
   
   
   $\begin{cases} x = t^2 \\ y = t^3 \end{cases} \quad (0 \leq t \leq 1)$
   
   求曲线长度
   

曲面面积

6. 旋转曲面
   计算
   $y = \sqrt{r^2 - x^2}$ 在 $[-r,r]$ 绕x轴旋转的表面积
   （验证球体表面积公式
   $4πr^2$）

综合应用

7. 方法对比
   用两种方法计算
   $y = 1$ 到 $y = 3$ 之间，$x = \sqrt{y}$ 绕y轴旋转的体积

答案与解析

1. 解：

   使用圆盘法：

   
   
   $V = π\int_{0}^{4} (\sqrt{x})^2 dx = π\int_{0}^{4} x dx = π\left[\frac{x^2}{2}\right]_0^4 = 8π$

2. 解：

   使用壳层法（反函数 $x = y^{1/3}$）：

   
   
   $V = 2π\int_{0}^{2} x(x^3) dx = 2π\int_{0}^{2} x^4 dx = 2π\left[\frac{x^5}{5}\right]_0^2 = \frac{64π}{5}$

3. 解：

   交点 $x=0,1$，Washer法：

   外半径 $R = x$，内半径 $r = x^2$

   
   
   $V = π\int_{0}^{1} (x^2 - x^4) dx = π\left[\frac{x^3}{3} - \frac{x^5}{5}\right]_0^1 = \frac{2π}{15}$

4. 解：

   导数 $f'(x) = x^{1/2}$

   
   
   $L = \int_{0}^{3} \sqrt{1 + x} dx = \left[\frac{2}{3}(1+x)^{3/2}\right]_0^3 = \frac{14}{3}$

5. 解：

   
   
   $\frac{dx}{dt} = 2t,\ \frac{dy}{dt} = 3t^2$
   
   
   $L = \int_{0}^{1} \sqrt{(2t)^2 + (3t^2)^2} dt = \int_{0}^{1} t\sqrt{4 + 9t^2} dt = \frac{1}{27}(13^{3/2} - 8)$

6. 解：

   导数 $f'(x) = \frac{-x}{\sqrt{r^2 - x^2}}$

   
   
   $A = 2π\int_{-r}^{r} \sqrt{r^2 - x^2}·\sqrt{1 + \frac{x^2}{r^2 - x^2}} dx = 2πr\int_{-r}^{r} dx = 4πr^2$

7. 方法对比：

   Disk法：
   
   $V = π\int_{1}^{3} (\sqrt{y})^2 dy = π\left[\frac{y^2}{2}\right]1^3 = 4π$
   
   Shell法：
   
   $V = 2π\int{1}^{\sqrt{3}} x(3 - x^2) dx = 2π\left[\frac{3x^2}{2} - \frac{x^4}{4}\right]_1^{\sqrt{3}} = 4π$

学习提示：

1. 第3题注意识别内外半径

2. 第6题验证经典几何体公式时注意积分技巧

3. 方法对比题展现不同积分变量选择对计算量的影响

4. 参数方程求导后注意保持积分变量的统一性