练习

1. 极值判定

求函数$( f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 2 )$ 在区间$([-1,5])$上的所有极值点，并指明是极大值还是极小值。

2. 中值定理验证

验证函数 $( f(x) = \ln(x) )$在区间$([1, e])$上是否满足中值定理条件。若满足，求出对应的c值。

3. 泰勒展开

将函数 $( f(x) = \sqrt{x} ) 在 ( x=1 )$ 处展开为3阶泰勒多项式，并估计 $( \sqrt{1.2} )$的近似值。

4. 洛必达法则应用

计算极限：

$\lim_{x→0} \frac{e^{2x} - 1 - 2x}{x^2}$

5. 金融应用分析

某期权价格函数为$( C(S) = S^2 - 10S + 25 )$，其中S为标的资产价格：

• (a) 求该期权的内在价值最低点

• (b) 分析价格曲线的凹凸性

6. 综合应用题

某投资组合的日收益率函数为$( R(t) = 0.1t^3 - 1.8t^2 + 5.4t )$（$t∈[0,6]$表示时间）：

• (a) 求最大收益率出现的时间

• (b) 分析第3日是否为拐点

• (c) 预测第7日收益率（使用3阶泰勒展开，以t=6为展开点）

参考答案

1. 极值判定

步骤：

1. 求导：$( f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 = 3(x-1)(x-3) )$

2. 临界点：x=1, x=3

3. 二阶导数测试：
   • $( f''(x) = 6x - 12 )$
   • $f''(1) = -6 < 0$ → 局部极大值 $( f(1)=6 )$
   • $f''(3)=6 > 0$ → 局部极小值 $( f(3)=2 )$

4. 端点比较：
   • $f(-1)=-23, f(5)=82$

结论：

全局最大值82（x=5），全局最小值-23（x=-1）

2. 中值定理验证

验证：

1. 连续性：lnx在[1,e]连续 ✅

2. 可导性：在(1,e)可导 ✅
   计算c值：
   
   $\frac{f(e)-f(1)}{e-1} = \frac{1-0}{e-1} = \frac{1}{e-1}$令 $( f'(c)=\frac{1}{c} = \frac{1}{e-1} )$
   解得
   $( c = e-1 ) ∈ (1,e)$

3. 泰勒展开

展开过程：

1. 计算导数：
   • $( f(1)=1 )$
   • $( f'(1)=\frac{1}{2} )$
   • $( f''(1)=-\frac{1}{4} )$
   • $( f'''(1)=\frac{3}{8} )$

2. 三阶展开式：
   
   $T_3(x)=1+\frac{1}{2}(x-1)-\frac{1}{8}(x-1)^2+\frac{1}{16}(x-1)^3$

3. 近似计算：
   
   $\sqrt{1.2} ≈ T_3(1.2)=1.0955 \quad (真实值≈1.0954)$

4. 洛必达法则应用

计算过程：

连续应用两次法则：

1. 第一次应用：
   
   $\lim_{x→0}\frac{2e^{2x}-2}{2x}$

2. 第二次应用：
   
   $\lim_{x→0}\frac{4e^{2x}}{2}=2$

5. 金融应用分析

(a) 内在价值最低点：

1. 求导：$( C'(S)=2S-10 )$

2. 临界点：S=5

3. 验证：$( C''(5)=2>0 )$→ 最小值点
   最低价值
   $( C(5)=0 )$

(b) 凹凸性分析：

由于$( C''(S)=2>0 )$，整个定义域上为凹函数（上凸）

6. 综合应用题

(a) 最大收益率时间：

1. 求导：$( R'(t)=0.3t^2-3.6t+5.4 )$

2. 解方程得临界点：$t=3, t=6$

3. 比较值：
   • R(3)=10.8%
   • R(6)=0%
     ⇒ 最大收益率在t=3小时
     

(b) 拐点分析：

1. 二阶导数：$( R''(t)=0.6t-3.6 )$

2. 令 $( R''(t)=0 )$→ t=6
   但t=6在区间端点，不是拐点
   

(c) 泰勒预测：
以t=6为展开点：

$T_3(t)=0+0(t-6)+0(t-6)^2+0.3(t-6)^3$

预测$R(7)=0.3(1)^3=0.3$（实际为-0.3%）